O Problema de Monty Hall

por Guilherme Guilhermino Neto*

O cálculo de probabilidades costuma ser motivo de muita frustração para os alunos de Estatística. O que começa com historinhas aparentemente inofensivas sobre moedas e dados pode tornar-se um pesadelo, à medida que estes alunos são apresentados a uma maior variedade de problemas. Diferentemente do que ocorre em outras áreas da Matemática, conhecer algebrismos, fórmulas e procedimentos-padrão não é suficiente para a probabilidade. Atenção, leitura e interpretação são habilidades fundamentais neste campo. Já falamos disso neste blog (veja “As meias na gaveta”) – para os enunciados de problemas de probabilidades, a expressão idiomática que diz que “o diabo mora nos detalhes” é perfeita.

Ao longo de meu percurso acadêmico, como aluno de cálculo de probabilidades, perdi a conta do número de vezes em que fui apresentado ao Problema de Monty Hall. Quase sempre, o enunciado era feito como um desafio, ao final dos cursos. Apesar das incontáveis reprises, acompanhadas das mais variadas formas de se resolver o problema (umas mais esquemáticas, outras baseadas em fórmulas, e outras daquelas mais enigmáticas de uma só linha…) não houve uma vez em que eu tivesse ficado totalmente satisfeito com a resposta, o que me fez ficar irritado comigo mesmo e com o maldito desafio.

Ao começar a procurar a literatura sobre o problema, logo dei de cara com o livro “The Monty Hall Problem: The Remarkable Story of Math’s Most Contentious Brainteaser”, de Jason Rosenhouse [1].

capaSaber que existia um livro de 194 páginas inteiramente dedicado ao problema já me trouxe algum conforto: se tanto havia para falar sobre um único problema, talvez não houvesse tanto motivo para eu me culpar por não me satisfazer com as respostas, porque o negócio seria realmente complexo. Ao longo de um divertido primeiro capítulo, Rosenhouse deixa claro que eu não estava mesmo sozinho (inclusive estava muito bem acompanhado): por anos, o problema foi motivo de controvérsia e muita discussão, até mesmo entre matemáticos de primeira linha!

Mas, afinal, por que um problema enunciado em tão poucas linhas, conhecido desde a década de 70, persiste como um dos mais intrigantes e complexos desafios da probabilidade? Neste texto, comento sobre a origem, a solução, e trago idéias que podem servir como norte para discutir o Problema de Monty Hall.

A história

Em 1975, Steve Selvin, da Universidade da Califórnia, enviou uma carta ao editor da revista The American Statistician [2]. No número I do volume 29, foi publicado o que ele chamou de “A problem in probability”. O documento histórico, que pode ser encontrado facilmente na Internet (cheque as referências deste texto), pode ser visto ao lado.

O problema, apresentado na forma de uma história dialogada, consiste no estudo de estratégias para um programa de jogos. O apresentador pede que um participante escolha uma entre três caixas, A, B, e C. Dentro de uma delas, estão as chaves de um carro. Enquanto o participante escolhe sua caixa, o apresentador tenta persuadi-lo a rever sua estratégia.

Esta é a primeira versão do problema de Monty Hall de que se tem notícia. Monty Hall era o apresentador do programa de televisão americano chamado Let’s Make a Deal, onde membros da platéia participavam de provas que lhes poderiam render algum prêmio. No enunciado de Selvin, a grafia do nome do apresentador aparece como “Monte”, possivelmente para evitar problemas jurídicos ao se usar o nome de uma figura conhecida, mas já há bastante tempo a grafia “Monty” é o padrão difundido. Inclusive, o próprio Monty Hall chegou a dar seus palpites sobre o tal problema [3]. Apesar da publicação na The American Statistician e da retomada do problema pelo economista Barry Nalebuff em artigo de 1987 [4], pouco se discutiu sobre o assunto ao longo de alguns anos.

marilyn

Foi em 1990 que o problema de Monty Hall foi ressuscitado e emergiu na cultura pop. Naquele ano, na edição de setembro, a revista de variedades americana Parade, publicou a seguinte pergunta, enviada pelo cientista Craig F. Whitaker à editora Marilyn Von Savant [5]::

Em tradução livre: Suponha que você esteja em um programa de jogos, e lhe seja dada a escolha entre três portas: Atrás de uma porta está um carro; atrás de outras duas, estão cabras. Você escolhe uma porta, digamos, No. 1, e o apresentador, que sabe o que está atrás das portas, abre outra porta, digamos, No. 3, que tem uma cabra. Ele então lhe pergunta, “Você quer mudar para a porta No. 2?”. É vantajoso mudar sua escolha?

Apesar de essencialmente tratar do mesmo problema, com os mesmos pressupostos do que havia sido publicado por Selvin em 1975, o enunciado da carta de Whitaker a Von Savant é o mais próximo daqueles que mais se encontram nos livros de Estatística até hoje. Após a resposta (parcialmente correta) da editora, o problema gerou toda uma discussão a partir da edição seguinte, na qual se engajaram vários debatedores e da qual derivaram outros quebra-cabeças ainda mais desafiadores. A história toda pode ser lida em seus pormenores no ótimo livro de Rosenhouse [1].

Vale destacar que, embora, como já dissemos, Monty Hall já tenha dado sua opinião sobre o assunto, é sabido que a tal prova das portas jamais existiu em seu programa. Justiça seja feita, o apresentador tupiniquim Sérgio Mallandro, sim, repetiu o jogo à exaustão desde 1987, quando comandava o infantil Oradukapeta. No quadro Porta dos Desesperados (uma sátira à Porta da Esperança, de Silvio Santos), uma criança tinha que escolher entre abrir a porta de três cabines. Atrás de uma delas, havia brinquedos, enquanto as outras duas revelavam um cacho de bananas e um adulto vestido de gorila, que corria atrás da pobre criança… Apresentar o problema como Problema do Sérgio Mallandro já me ajudou a fazer alguns alunos entenderem melhor, por incrível que pareça.

O problema

Vamos reler o enunciado do Problema de Monty Hall, em sua forma mais popular, como escrito por Whitaker:

Suponha que você esteja em um programa de jogos, e lhe seja dada a escolha entre três portas: Atrás de uma porta está um carro; atrás de outras duas, estão cabras. Você escolhe uma porta, digamos, No. 1, e o apresentador, que sabe o que está atrás das portas, abre outra porta, digamos, No. 3, que tem uma cabra. Ele então lhe pergunta, “Você quer mudar para a porta No. 2?”. É vantajoso mudar sua escolha?

Para a maior parte das pessoas com quem conversei sobre o programa diz, não faz diferença trocar de porta. A justificativa seria que, como foi descartada uma porta que não tinha o carro, ficamos com a decisão entre duas portas, com igual probabilidade de ter um carro. Como a porta Nº 1 teria probabilidade 1/2 de ter o carro, e a porta Nº 2, também 1/2, nenhuma das duas estratégias, ficar com porta Nº 1 ou mudar para a Nº 3, diminuiria ou aumentaria nossa probabilidade de escolher o carro. Logo, não faria diferença. Mas será que é simples assim?

Considero uma das maiores dificuldades em explicar a solução do Problema de Monty Hall não convencer alguém de uma resolução que leve à resposta correta. Acredito que convencer de por quê a idéia de que não faz diferença está equivocada (e, portanto, não haveria paradoxo) o ponto mais complicado.

Voltemos à expressão idiomática a que recorri no início do texto: “o diabo mora nos detalhes”. O raciocínio usado para justificar que não faz diferença trocar a porta ignora pressupostos que estão no enunciado, e substitui o problema por outro completamente diferente. Uma coisa seria alguém ligar a TV no meio do programa, ter perdido o início e chegado na hora em que o participante está diante de duas portas fechadas, uma com o carro e outra com uma cabra e, não fazendo a menor idéia do que aconteceu previamente, ou do que foi estabelecido, tentar descobrir a porta com o carro. No nosso caso, nós dispomos do enunciado, sabemos do jogo desde o início e, portanto, dispomos de informações a priori que não podem ser descartadas.

Vamos elencar, a partir do enunciado, os pressupostos do problema (ou “as regras do jogo”, como queira):

1) Duas portas têm cabras, uma porta tem um carro.

2) Monty Hall sabe em que porta está o carro.

3) Monty Hall sempre abre uma porta que tem uma cabra.

4) Se Monty Hall tem uma escolha, ele abre qualquer uma das duas portas com igual probabilidade.

Os pressupostos 1 e 2 estão explícitos no texto de Whitaker, e devem ser considerados, embora muitos leitores negligenciem o trecho que diz que o apresentador sabe em que porta está o carro.

O pressuposto 3 decorre do 2 e também está explícito no texto. Já vi, no entanto, ele ser omitido do enunciado em muitas ocasiões (devo dizer que já vi até mesmo o 2 ser omitido). Claro que poderíamos imaginar que o leitor já considere estas regras, já que, se Monty Hall não soubesse onde está o carro, ou pudesse, ainda que soubesse, abrir a porta que tem o carro, ele estragaria a brincadeira, terminando o jogo imediatamente. Porém, considero imprescindível que estas regras constem no enunciado – afinal, não se joga um jogo (ou se enuncia um problema) sem estabelecer as regras, não é mesmo? O pressuposto 4, finalmente, vem do fato de não temos nenhum elemento que leve a crer que os eventos não sejam equiprováveis (acho que não deveríamos supor que o apresentador seja um trapaceiro…).

Voltando à lógica de quem argumenta que não faz diferença trocar a porta, após elencar os pressupostos fica claro que esta idéia ignora todas as condições sob as quais o apresentador escolhe a porta que ele vai abrir. Ele não pode abrir a porta que você escolheu e, como vimos, não pode abrir a porta com o carro e deve escolher a porta que abrirá aleatoriamente quando tiver duas opções (ou seja, quando você escolher o carro logo de início). Suponha que Monty abra a porta 2. Se você considerar os pressupostos, entenderá que a informação que você acaba de receber foi de que o apresentador, que opera de acordo com certas regras, escolheu abrir a porta 2. A escolha de Monty foi feita por um dos dois motivos a seguir:

(a) O carro está atrás da porta 3, mas você escolheu a porta 1. Nesse caso, ele não podia ter aberto nem a porta 1 (que é a sua) e nem a porta 3 (que esconde o carro). Logo, foi forçado a abrir a porta 2. (b) O carro está atrás da porta 1, que foi a que você escolheu. Nesse caso, ele escolheu a porta 2 aleatoriamente entre a 2 e a 3. Se o apresentador escolhe a porta 2, é mais provável, então, que o carro esteja atrás da porta 3 do que da porta 1.

Acredito que isto ficará mais claro a seguir, quando eu apresentar a resolução em termos das probabilidades associadas. Por ora, o importante é entender que os pressupostos do problema, depreendidos de uma leitura minuciosa do enunciado, são cruciais para traçar uma estratégia. Quem primeiro vi destacar a importância de elencar os pressupostos do problema para o entendimento foi o professor Joe Blitzstein, da cadeira Stats 101, da Universidade de Harvard, cuja aula sobre Monty Hall está disponível em [6].

Uma resolução

Como mencionei no início do texto, existem inúmeras formas de resolução que levam à solução correta do problema. Pessoalmente, gosto de exibir os possíveis cenários usando uma árvore e calcular as probabilidades em seguida. Métodos gráficos, quando se estudam cenários, costumam ser úteis. Vamos começar a construir a árvore a partir das escolhas que podem ser feitas no início do jogo.

arvore1

Primeiro, o participante tem uma entre três portas à sua escolha, uma com um carro e duas com cabras. Nesta primeira escolha, cada prêmio pode ser escolhido de maneira equiprovável, com probabilidade 1/3. A árvore começa então, assim:

Em seguida, o apresentador faz seu movimento. Vamos analisar o que acontece em cada um dos três casos: quando a porta que o participante escolheu tem um carro, a cabra A ou a cabra B. Quando a porta inicial do participante tem o carro, o apresentador pode abrir qualquer uma das duas outras portas e, como vimos, esta escolha é equiprovável. Portanto, cada uma das outras portas pode ser aberta com probabilidade 1/2. Acrescentamos este caminho à árvore:

Quando a porta inicial tem uma cabra, o apresentador é forçado a abrir a porta que tem a outra cabra. Como ele só tem uma escolha, e esta escolha deve obrigatoriamente ser feita, a probabilidade dela é 1. Acrescentando os caminhos para os casos em que a primeira porta tem a Cabra A ou a Cabra B, nossa árvore termina como a seguir:

Vamos calcular as probabilidades de cada caminho (ou cada “cenário”, como queira). Como a escolha do participante e a escolha do apresentador são eventos independentes, a probabilidade do caminho será dada pelo produto das probabilidades dos ramos. As probabilidades de ocorrência dos caminhos da árvore, então, são as seguintes:

Agora vamos acrescentar mais duas informações à tabela: o que aconteceria a depender da estratégia (ficar com a porta escolhida inicialmente, ou mudar) e, com base nesta, a decisão final que o participante deveria tomar para maximizar sua possibilidade de ganhar o carro:

Da tabela, temos que:

i) A probabilidade ocorrer o caminho 1 ou o caminho 2 é de (1/6+1/6)=1/3. 

Ou seja, a probabilidade de que o participante se veja em uma situação em que a melhor decisão seja ficar com a porta que escolheu inicialmente é de 1/3.

ii) A probabilidade ocorrer o caminho 3 ou o caminho 4 é de (1/3+1/3)=2/3. 

Ou seja, a probabilidade de que o participante se veja em uma situação em que a melhor decisão seja mudar para a outra porta é de 2/3.

Como é mais provável que o participante se veja em uma situação em que mudar a porta é a melhor estratégia, concluímos que mudar a porta maximiza a probabilidade de se ganhar o carro. A estratégia recomendada, portanto, é sempre mudar de porta.

Palavras finais

O problema de Monty Hall é um exemplo clássico de como probabilidade é um assunto complexo. Um pequeno problema pode gerar controvérsias capazes de dar um nó nas mentes mais atentas, caso seus pressupostos não sejam claramente enunciados e observados. A quem se interessar pelo aprofundamento no tema, recomendo fortemente o livro de Rosenhouse [1], que não se atém ao problema original, mas também esmiúça algumas variantes muito curiosas.

*Guilherme Guilhermino Neto é professor no Instituto Federal do Espírito Santo (IFES).

Referências

[1] Rosenhause, Jason. 2009. The Monty Hall Problem: The Remarkable Story of Math’s Most Contentious Brain Teaser. Oxford University Press: Oxford.

[2] Selvin, Steve. 1957. “A Problem in Probability” (letter to the editor)”, American Statistician, Vol. 29, No. I, p. 67.

[3] Weiner, Herb. 1997.  “Marilyn is tricked by a game show host”. Disponível em <http://people.math.harvard.edu/~knill/oldtexas/Teaching/MA464/PUZZLES/marilyn.gameshow.html>. Acesso em 13 nov. 2020.

[4] Nalebuff, Barry. 1987. “Choose a Curtain, Duel-ity, Two Point Conversions and More”, Economic Perspectives, Puzzles Column, Vol. 1, No. 1, pp. 1 57-63.

[5] Kowontan, “J.S. Monty Hall Problem and Bayes Rule”. Disponível em: <https://medium.com/@JS_Kowontan/monty-hall-problem-bayes-rule-4c6f9612dcaa.> Acesso em 13 nov. 2020.

[6] Harvard University. “Lecture 6: Monty Hall, Simpson’s Paradox | Statistics 110”. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=fDcjhAKuhqQ>. Acesso em 13 nov. 2020.

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