Em 1992, ocorreu um incidente curioso no mercado americano de brinquedos. A Mattel, fábrica da Barbie, lançou o modelo Teen Talk Barbie, que tinha dentro um gravador: quando a criança apertava um botão, a boneca dizia algumas frases pré-gravadas. A idéia era uma novidade na época, e a boneca começou a vender muito bem (mais de 300 mil unidades em um ano). A maior parte das frases eram as tolices que se esperaria que saíssem de uma Barbie (“Ok, me encontre no shopping”, “Será que um dia nós teremos roupas que chegam?”, “Quer sair pra fazer compras?”, etc.).

Uma delas, porém, causou uma reação que a fábrica não esperava: a frase “Math class is tough!” (“Aula de Matemática é dureza!”). Provavelmente alguém da fábrica pensou que o público iria achar a frase “cute” (uma gracinha, fofinha), mas os professores e as feministas não concordaram. O Conselho Nacional de Professores de Matemática considerou-a “prejudicial ao esforço feito para encorajar meninas a estudar matemática”, e outras organizações de mulheres também protestaram. Os resultados foram, primeiro, que a fábrica acabou tendo que retirar a boneca do mercado; segundo, que esta Barbie se tornou uma celebridade, com vídeos no Youtube, página na Wikipedia, e um valor para colecionadores estimado em uns US$ 500 (enquanto a maioria das Barbies custam hoje em torno de US$ 20 na Amazon).

O interessante de tudo isto é que, apesar da overreaction do público, a Barbie no fundo estava certa : aulas de matemática são mesmo difíceis. Ninguém que tenha passado por uma escola pode negar isto; e quem estudou alguma das “ciências exatas” ou Engenharias em geral não tem muita saudade das aulas de Cálculo ou de Álgebra Linear. Não são apenas as aulas que são difíceis. A Matemática pode ser fascinante (não é a toa que jogos matemáticos como sudoku são populares em todo o mundo), mas sem dúvida é difícil – não apenas para as Barbies, mas para qualquer pessoa, independentemente de sexo, raça, idade ou crença.

O ramo da Matemática que nos interessa aqui – as Probabilidades – parece ser mais difícil para os estudantes do que os outros ramos. Vários de seus teoremas e resultados “elementares” vão contra o senso-comum; nada em Probabilidades é obvio – se parece óbvio, provavelmente é porque está errado. Mesmo os problemas que hoje são considerados fáceis e resolvidos como exercício logo nas primeiras aulas são desafios para quem os encontra pela primeira vez.

Para lembrar quão difíceis são as Probabilidades, uma busca na história pode nos mostrar exemplos de problemas nos quais grandes matemáticos se confundiram no passado, e cometeram erros que até hoje são comentados nos livros.

O exemplo mais bem conhecido é o de d’Alembert (1717- 1783),  matemático, físico e filósofo francês (retratado ao lado por Quentin de La Tour, 1753). D’Alembert foi um dos editores da Encyclopédie – a enciclopédia francesa que, junto com a inglesa Encyclopaedia Britannica e a alemã Brockhaus Enzyklopädie, foram no século XVIII as precursoras das enciclopédias modernas. Entre os cerca de 1700 textos que escreveu para a obra estava o artigo “Croix ou Pile” (cara-ou-coroa), no qual d’Alembert afirmava que a probabilidade de se obter pelo menos uma cara no lançamentos de duas moedas não é ¾ (como afirmavam Pascal e Fermat), mas sim 2/3. Uma vez que o jogo pára se houver cara na primeira moeda (não é preciso jogar de novo a moeda, se já saiu uma cara), há apenas três resultados possíveis: cara na primeira moeda; cara na segunda moeda; coroa nas duas moedas. Laplace fez referência a este erro no seus livro clássico [1], publicado muito depois, o que tornou d’Alembert célebre não apenas por seus muitos acertos, mas também por este único erro. O historiador Charles Boyer chegou a afirmar que “D´Alembert, diferentemente de Euler, é notado na história das Probabilidades principalmente por ter se oposto às opiniões geralmente aceitas” [2], o que é um exagero (a Wikipedia traz uma longa lista das contribuições de d’Alembert à Matemática).

Cramér, estatístico sueco do século XX, menciona outro francês, Giles de Roberval (1602 –1675), que também já tinha recusado os resultados de Pascal e Fermat, um século antes, e tirado as mesmas conclusões erradas [3]. Atualmente, este problema com duas moedas é considerado ‘fácil’ e é geralmente usado como exemplo na primeira aula de Probabilidades (neste site, é o Exemplo 1 da seção 3.1.3).

Um exemplo mais complicado é o problema de Monty Hall (veja o texto anterior neste blog). Paul Erdős, quando viu pela primeira vez o problema, não conseguiu resolvê-lo, e não aceitou a resposta correta quando esta lhe foi apresentada. Vários dias depois, quando viu o resultado de simulações feitas em computador por um amigo, Erdős ficou convencido de que a resposta era mesmo trocar de porta; mesmo assim, nunca entendeu completamente a demonstração que lhe foi mostrada [4].

D’Alembert e Roberval, dois dos maiores intelectuais da história França, não conseguiram resolver um problema com duas moedas; e Erdős, um matemático com mais de 1400 artigos publicados, não conseguiu entender um problema com três portas. Para nós que ensinamos ou estudamos Matemática, isto pelo menos vai servir de consolo na próxima vez que não conseguirmos resolver um problema – se os grandes nomes do passado podiam errar de vez em quando, nós pobre mortais também podemos!

[1] Laplace (1840). Essai phylosophique sur les probabilités. 6ª. ed. Paris: Imprimerie de Bachelier.

[2] Cramér, Harald (1973). Elementos da teoria da probabilidade e algumas de suas aplicações. São Paulo: Edit. Mestre Jou. p. 13-14.

[3] Boyer, Charles. (1989). A history of mathematics. 2^nd ed. John Wiley. p.455.

[4] Hoffman, Paul (1999). The man who loved only numbers. London: Fourth State, p. 237.